1-3空間進階概念

1.二次元生物的模擬

先前曾提到，二次元是一個由長寬所組成的一個「面」，而在我們周遭的螞蟻、蜥蜴等爬行生物，也可以與我們做類比。牠們並不知道第三維高度的存在(如左下圖)，在牠們的世界就是只有一個平面，這也是牠們能「飛簷走壁」的原因之一。而我們人類也是如此，還不清楚更高維度，只了解所處的三度空間。

(*僅可做為模擬，而非真正「平面生物」)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.空間觀念的演進

我們總是花許多時間在二維(平面)空間中運動，例如走過某個房間的地板，或沿著一條路從甲地旅行到乙地。在一棟高樓大廈裡面，人們也能進行三維(平面+高度)的運動，除了在各層行走外，有時也會利用樓梯在各樓層上上下下。在古代，人們對於空間的觀念有一些知識，但是對於空間的奧秘也不是極度了解，而今日的我們，漸漸發現「超立方體」的存在，不過還無法透徹四維以外的事物。

 

 

 

 

 

3.超立方體

(1)基本概念

 超立方體全名為「四維超正方體」或稱「正八胞體」，是一種四維的超正方體。在幾何學中，

 四維超正方體是立方體的四維類比，有8個立方體胞。四維超正方體之於立方體，就如立方體

 之於正方形。它是四維歐式空間中6個四維凸正多胞體之一。

 超正方體是一個有無窮多個成員的凸正多胞形家族的四維成員，這個家族被稱為「立方形」（或

 稱超方形、正測形），其成員與施萊夫利符號{4,3,3,……,3,3}，它們都具有類似正方形和立方體

 的性質，如二胞角都為90°等。「超立方體」這個名稱在一般的場合中特指四維的這個超正方體，

 不過在數學上，「超正方體」這個詞可以指n維（n>3）的任意一個立方形，因此把它和n維的

 其他立方形放在一起討論時，要加「四維」以示區別。

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(下圖:超立方體展開組合圖)

*超立方體展開模擬圖

(2)超球體(n維球面)

 [1]描述─

 0維球面是直線上的兩個點{p − r, p + r}；

 1維球面是平面上的圓；

 2維球面是三維空間內的普通球面；

 3維球面是四維空間內的球面。

 [2]N維球體─

 1維球體，是一個線段，是0維球面的內部。

 2維球體，是一個圓盤，是圓（1維球面）的內部。

 3維球體，是一個普通球體，是球面（2維球面）的內部。

 4維球體，是3維球面的內部。

 

(3)超立方體的模擬─

 超正方體的構造方法可以通過以下方式來想像：

 [1]從零維到一維：兩個點A和B可以被連接起來，我們就得到一個新的線段AB。

 [2]從一維到二維：兩個平行的線段AB和CD可以被連接起來，我們就得到了一個正方形，以

頂點為標記記作正方形ABCD。

 [3]從二維到三維：兩個平行的正方形ABCD和EFGH可以被連接起來，我們就得到了一個立

方體，以頂點標記為立方體ABCDEFGH。

 [4]從三維到四維：兩個平行的立方體ABCDEFGH和IJKLMNOP可以被連接起來，我們於是

就得到了一個超正方體，以頂點標記為超正方體ABCDEFGHIJKLMNOP。

 四維方體的結構不易想像，但可以投射至3維或2維空間。在我們將其投影到二維空間中後，

 把頂點位置調整，可以了解更多。如此獲得的圖像，不再反映四維方體空間構造，而是反映頂

 點間的聯繫。(如下圖示)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

如上圖示，我們可以進一步分析「超方形」(簡易移動手法):

 0 – 點是零維唯一的超方形。

 1 – 如果讓這個點移動一個單位長度，它會掃出一個線段，這就是一維的單位超方形。

 2 – 如果讓這個線段沿垂直於它本身的方向移動一單位長度，就會掃出一個二維的正方形。

 3 – 如果讓這個正方形沿垂直於它所在平面方向移動一單位長度，就會出現三維的立方體。

 4 – 如果讓這個立方體沿著垂直於它的第四方向移動一單位長度，就會產出一個超正方體。

 

(4)四維正多胞體大觀