1-4光錐

1.閔可夫斯基時空

(1)基礎概念

在四維的坐標系，以時間乘以光速（ct）為其中一軸，稱之為時間軸；其他的x軸、y軸、z軸，稱之為空間軸。在這四維時空上的每一點，都代表一個事件E。對應特定的慣性參考系，E發生的時間和地點(ct,x,y,z)。每個質點在時空的活以連續的曲線表示，稱為「世界線」。

 

(2)時空圖

 [1]光錐─(下左圖)

 若有一道光經過(0,0,0,0)，它所有可能的世界線是兩個圓錐面，圓錐的頂角是90°，一個在ct≦ leq 0 （未來），另一個在ct≧0 （過去），稱為光錐。圓錐面將平面分成五部分--

 未來光錐內的點（表示的事件），與原點是類空的；

  過去光錐內的點，與原點是類空的；

  光錐外的點（有x≦0, x≧0兩邊），與原點是類時的；

 在光錐上的點，是類光的。

 

 [2]空間收縮─(下中圖)

 考察一條原長為L的木棒，在閔可夫斯基圖畫出棒端和棒末的軌跡。兩點的軌跡是平行直線。

 從圖中可見，若觀察者A與棒之間有相對速度，A量度棒的長度，從一個與棒相對速度為0的

 觀察者的慣性系（即棒的體慣性系）看來，對方量度棒端和棒末的時間不同。經過計算（要記

 得在不同慣性系在圖中的單位長度不同），便可知道棒的長度，在體慣性系量度得的長度是最

 大，其他慣性系的觀察者都會量得L' < L，即有空間收縮。時空圖應用可延伸「雙生子佯謬」。

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.光錐的結構

(1)光錐概念─

「光錐」就是閔可夫斯基時空中能夠與一個單一事件通過光速存在因果聯繫的所有點之集合，因此它具有「勞侖茲不變性」。其實光錐是個有關時空座標性的概念，我們的時空可以由此假想組成。光錐分為「現在光錐」和「過去光錐」，介於兩者中的便是「此時此地」，也就是觀測者(我們)的所在位置。

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)世界線

「世界線」是指光錐中間的時間路徑線，光錐與光錐也是靠此連結組合起來。時間和空間合稱為四維時空，粒子在四維時空中的運動軌跡即為世界線，也是物體穿越四維時空唯一的路徑，因加入時間維度而有別於力學上的軌道或路徑。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*右上圖:世界線、世界面、世界體積即為點、線、面在四維時空中的路徑，可延伸至第九章)

 

※光錐的模擬: (1)漣漪的光錐                                                  (2)宇宙的光錐 我們可以試著將石頭丟入水面，你會發現，    我們將宇宙的起點置於最下方，觀測者位置於 當石頭丟入水面後，一圈圈的漣漪會隨時間    最頂端，從大霹靂至今，宇宙由最小經由暴漲 擴大，而石頭丟入點則為這段時間的起點。    再膨脹至今，我們由下至上，會發現宇宙光錐 如果將漣漪的擴大一張張拍下來，並利用影    是由小到大演變而來的，而和漣漪比較，無論 像技術向上重疊，則會發現，擴大的漣漪會    長短時間所形成的光錐，皆是1/2的型態呈現 形成一個光錐的形狀(如左圖)。               ，且時間由下至上，由小至大，證明了其行進。

 

(3)光錐結構圖:

※封閉類時曲線(CTC): 「封閉類時曲線」(CTC)簡單來說是一粒子於時空中的一種世界線，其為「封閉」，亦即會返回起始點。若封閉類時曲線存在，時間機器理論上則可行，但如此也引出了各種悖論。將CTC討論於廣義相對論或限定在閔可夫斯基時空，則一個光錐可給定現在狀態的物體未來任何可能的演進，或給定現在位置之下，未來任何可能的位置，一個物體的未來可能位置受限於該物體能移動的速度，最快只能到光速。

 

3.光錐的應用

(1)複雜的世界線



新增說明文字

 世界線是連接光錐的一種假想軌跡，只要時間還是

 前進，世界線永遠都是朝同一方向運行；但是如果

 時間機器問世，可能將導致世界線變得複雜許多。

 我們參考以下故事─1945年，女孩出生，1963年時，

 她結婚生女，1970年成了流浪漢，於是回到1945

 年和自己碰面；1985年時，她成了時間旅行客，回

 到1970年在酒店遇見自己，並帶自己回1945年綁

 架嬰兒，又將女嬰帶回1945年。如此，女孩是自己

 的父母、祖父母及兒女(如右圖)。

 

(2)光錐的效應

 我們是在此時此刻，無法了解或是先知覺到

 未來。假設太陽在此刻停止發亮，將不會影

 響地球上的事物，因為地球此刻位於太陽熄

 滅事件的他處；但是，在八分鐘後，也就是

 太陽光抵達我們的時間，才會知道出事了。

 因為，屆時地球上的事件才會在太陽熄滅事

 件的未來光錐之內；同樣的，我們並不知道

 遙遠宇宙此時此刻發生什麼事，因為我們現

 在看到遙遠星系的光線，是在幾百萬年前就

 已出發，像我們看到最遙遠的星體，光線在

 八十億年前就發出了。因此我們觀測宇宙，

 其實等同於觀測宇宙的歷史。

(3)提普勒柱面

 如下圖示:提普勒柱體上圓柱的軸和縱軸平行，設兩空間維度為x和y，時間軸同樣朝上，而這

 種柱體可以利用柱面不同距離處的圓形路徑線了解重力對光錐的影響。在離柱面很遠的地方，

 柱面對時空的彎曲力很小，因而光錐筆直朝上，也就是「平坦時空」的通常方向；可是越靠近

 柱面時，光錐卻開始朝旋轉方向傾斜。光錐在柱面附近，是朝偏離柱面非常遠的類空方向傾斜，

 其方向就是量度時間的方向。因此，若要時間旅行回到過去，就是盡可能地接近柱面，至足夠

 傾斜的時空區域，並循著一條螺旋路徑朝負時間的方向以螺旋形下降，而回到過去。經由這些

 傾斜光錐，我們一直都在向局部未來走去，最後當我們飛離柱面，光錐回到筆直向上的方向，

 就回到現實了。因此，提普勒柱面是否違反因果律，我們就不得而知了。